离散数学-抽象代数复习笔记

本文为离散数学-抽象代数复习笔记，只给结论不给证明。

一、抽象代数-概述

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0

1. 二元运算（S, *）：

定义：满足封闭性

原群：

定义：只满足封闭性

半群：

定义：满足结合律的原群

循环半群（可生成半群）

定义：一个半群是可生成的，如果存在一个元素 g 使得任何其他元素都可以由 g 通过半群运算获得。

幺半群（独异点）：

定义：有单位元的半群

群：

定义：有逆元的独异点

拉格朗日定理:
对于任何有限群 G, 子群 H 的阶（元素个数）整除 G 的阶。

拉格朗日定理的一个推论:
如果群 G 的阶是一个质数，那么

  • G 是循环群，
  • G 仅有两个子群—平凡子群（仅含单位元）和 整个群 𝐺

重要性：
这个定理限制了子群大小，并在求解群的结构时非常有用。

秀尔算法（把整数分解转化为阶的搜索）。
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A7%80%E7%88%BE%E6%BC%94%E7%AE%97%E6%B3%95#%E5%82%B3%E7%B5%B1%E9%83%A8%E4%BB%BD

找出 a 在 ZN (整数模 N 同余群) 里面的阶 r。

备注: ZN 的阶是 N，而 a 在 ZN 中的阶 r 就是 Za 的阶 r，因此根据拉格朗日定理 r mod N = 0。

交换群（阿贝尔群）：

定义：满足交换律的群

阿贝尔群的子群是阿贝尔群

循环群（可生成群）：

定义：每个元素都可表示为 g 的 n 次幂。
g 称为生成元

每个循环群都是阿贝尔群。

同构基本定理

  • 第一同构定理
  • 第二同构定理
  • 第三同构定理

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E6%9E%84%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86

第一同构定理 (抽象代数) 又称 秩—零化度定理 (线性代数)

第一同构定理:
设 A 和 B 是两个代数结构，f 是 A 到 B 的态射，则 A 等价关系 R：a~b 当且仅当 f(a)=f(b) 是 A 上的一个同余类，并且 A/R 同构于 f 的像（B 的子代数）。

秩－零化度定理:
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A7%A9%E2%80%94%E9%9B%B6%E5%8C%96%E5%BA%A6%E5%AE%9A%E7%90%86

它的秩（rank A）和零化度（nullity A）之和等于 n

同构定理-泛代数

2. 双二元运算（S，+，*，0，1）：

环：

定义：

  • 加法群是阿贝尔群
  • 乘法群是独异点
  • 分配律

有的理论认为：有些环可能没有乘法单位元，称为无单位环，而有单位元的环称为单位环。

域

定义：
环有乘法单位元, 非零元都有乘法逆元，则该环是一个域。

  • 加法群是阿贝尔群
  • 乘法群是群（去掉 0，后不特殊备注）
  • 分配律

注意

  • 域都是环：每个域都是环，因为它满足环的所有定义条件。
  • 环不是域：并非所有的环都是域。例如，整数环 Z 是一个环，但它不是域，因为整数的乘法中并不是每个非零元素都有乘法逆元（例如，2 在 Z 中没有逆元）。
  • 单位环：如果一个环有乘法单位元且每个非零元素都有乘法逆元，则该环是一个域。仅有单位元而没有逆元的环称为单位环。

完备域

完备域的定义:
(https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%A4%87%E7%A9%BA%E9%97%B4)

完备性：一个域 F 是完备的，如果每个有上界的单调递增序列都收敛到 F 中的某个元素。换句话说，完备域中的每个有界序列都有极限，这个极限也在该域中。

口诀：有界集合必有上确界

例子：实数（点击跳转到本页对应章节）

3. 格（S，交，并）

格

考虑任意一个偏序集合（L,≤），如果对集合 L 中的任意元素 a,b，使得 a,b 在 L 中存在最大下界和最小上界，则(L,≤)是一个格

另一种定义格的方式是将格定义为一种代数结构（S，交，并）. 满足：

  • 交换律
  • 结合律
  • 吸收律

布尔代数

有补分配格。

定义：
是格，且满足：

  • 分配律
  • 互补律

二、例子 各个数字集

正整数:

  • 加法群是可生成半群
  • 乘法群是半群

自然数（Natural Numbers）：独异点

  • 加法群：独异点
  • 乘法群：独异点

整数（Integers）：交换域群

  • 加法群：循环群（可生成群）
  • 乘法群：独异点

每个元素个数为无穷个的循环群都与(Z, +)同构。

是一个全序集，没有上界和下界

全序关系 也称为线性顺序(S, ≤).

  • 反对称的
  • 传递的
  • 完全的(要么 a <= b, 要么 b <= 前段)

有理数（Rational Numbers）：交换域

  • 加法群：阿贝尔群
  • 乘法群：阿贝尔群

全序关系 也称为线性顺序(S, ≤).

  • 反对称的
  • 传递的
  • 完全的
  • 稠密性
    若 a < b，则必存在有理数 c，满足 a < c，且 c < b。

实数（Real Numbers）：完备域

完备域（点击跳转到本页对应章节）:

(https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%A4%87%E7%A9%BA%E9%97%B4)

完备性：一个域 F 是完备的，如果每个有上界的单调递增序列都收敛到 F 中的某个元素。换句话说，完备域中的每个有界序列都有极限，这个极限也在该域中。

口诀：有界集合必有上确界

  • 加法群：阿贝尔群
  • 乘法群：阿贝尔群
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